Matriks adalah : Susunan elemen-elemen berbentuk persegi panjang yang diatur dalam baris dan kolom,ditulis diantara kurung kecil atau kurung siku. A merupakan matriks jika dan hanya jika terdapat bilangan positif m x n dan terdapat m x n buah aij sedemikian sehingga A berbentuk persegi panjang sebagai berikut:
Pada definisi diatas m menyatakan banyaknya baris (tinggi matriks) dan n menyatakan banyaknya kolom (lebar matriks), m x n menyatakan orde atau ukuran matriks, yang juga menyatakan banyaknya entry atau elemen dari matriks A yang ditulis sebagai aij.
3.a Jenis-jenis matriks.
1. Matriks persegi
Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai jumlah baris sama dengan jumlah kolomnya yaitu m = n. Pada matriks persegi elemen aij dimana i = j, disebut elemen diagonal utama.
2. Matriks Diagonal.
Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen diagonal utamanya bernilai 0 dan paling sedikit satu elemen pada diagonal utamanya tidak sama dengan 0. Matriks Diagonal diberi simbol D.
3. Matriks Identitas
Matriks Identitas adalah matriks diagonal dimana semua elemen diagonal utamanya sama dengan 1, Matriks Identitas diberi simbol I
4. Matriks Skalar
Matriks Skalar adalah matriks hasil kali suatu scalar k dengan matriks identitas I, Matriks Skalar diberi simbol kI
5. Matriks nol
Matriks Nol adalah matriks yang semua elemennya sama dengan 0, Matriks Nol diberi simbol O
6. Matriks Segitiga Atas
Matriks Segitiga Atas adalah matriks yang semua elemen dibawah diagonal utamanya sama dengan 0
7. Matriks Segitiga Bawah
Matriks Segitiga Bawah adalah matriks yang semua elemen diatas diagonal utamanya sama dengan 0
8. Matriks Simetri
Matriks Simetri adalah matriks persegi yang elemen aij = aji
9. Matriks Transpose.
Matriks Transpose adalah , jika B adalah matriks transpose dari matriks A, atau B = AT, maka bij = aji.
10. Invers Matriks
Invers Matriks adalah, Jika A matriks persegi, matriks B adalah invers matriks dari A atau B = A-1 maka B x A = I.
3.b. Operasi pada Matriks
Pada matriks dikenal operasi : kesamaan dua matriks, penjumlahan matriks, perkalian matriks dengan scalar, perkalian matriks dengan matriks
Kesamaan dua matriks.
Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] dikatakan sama jika : aij = bij, yaitu, elemen yang bersesuaian dari dua matriks tersebut adalah sama.
Contoh :
Matriks A dan B dikatakan sama jika w = -1, x = -3, y = 0, dan z = -5
Penjumlahan dua matriks.
Penjumlahan dua matriks A dan B yang berorde m x n ,adalah matriks C yang berorde m x n, dengan elemen cij = aij + bij, untuk semua i dan j.
Perkalian matriks dengan scalar
Jika diketahui matriks A dan scalar k, maka matriks kA adalah matriks B dimana bij = kaij
Jika k = -2 dan
Perkalian matriks dengan matriks
Syarat dua matriks A dan B dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks A sama dengan banyaknya baris matriks B. Jika diberikan matriks A beorde m x n dan matriks B berorde n x r, maka hasil kali matriks A x B didefinisikan sebagi matriks C yang mempunyai elemen .
Contoh dan maka
Terlihat c11= 1.4 + 2.0 + 1.2 = 6 c13 = 1.4 + 2.3 + 4.5 = 30
c22 = 2.1 + 0.(-1) + 3.7 = 23 dan seterusnya.
Matriks Transpose
Jika maka
Latihan :
Diketahui matriks- matriks sebagai berikut :
dan matriks
Hitunglah :
1. AT x 3B =
2. -A x CT =
3. (AxC)T x (-B) =
Determinan
Determinan dari matriks persegi A yang beroder n x n, ditulis sebagai |A| didefinisikan tanda positif jika (i,j,k,…,r) adalah permutasi genap dari ( 1,2,3,…,n), dan negative jika (i,j,k,…,r) ganjil .
Contoh ;
1. maka |A| = a11 x a22 – a12 x a21.
2. maka
|A| = a11.a22.a33 + a12.a23. a31 + a13.a21.a32 – a11.a23.a32. – a12.a21.a33 – a13.a22.a31
Teorema :
1. Jika A matriks diagonal n x n, maka |A| = hasil kali seluruh elemen diagonalnya.
2. Jika A matriks persegi dan A matriks segitiga Atas atau matriks segitiga Bawah,
maka |A| = hasil kali seluruh elemen diagonalnya.
|A| = a11.a22.a33….ann.
3. Jika matriks B merupakan matriks yang dihasilkan dari baris tunggal A dikalikan dengan scalar k maka |B| = k |A|
4. Jika matriks B merupakan matriks yang dihasilkan dari pertukaran dua baris matriks A satu kali maka |B| = - |A|
5. Jika matriks B merupakan matriks yang dihasilkan dari penjumlahan atau pengurangan kelipatan dari suatu baris dari matriks A dengan baris lainnya, maka |B| = |A|
Untuk menghindari perhitungan yang banyak maka dalam menghitung determinan suatu matriks dapat digunakan teorema diatas, yaitu denganmereduksi baris matriks A sehingga menjadi matriks segitiga atas atau segitiga bawah.
Contoh: hitung determinan dari
baris pertama ditukar dengan baris kedua
, factor bersama baris pertama = 3, diambil melalui tanda determinan
, -2 kali baris pertama ditambahkan pada baris kedua
, -10 kali baris kedua ditambahkan pada baris ketiga
factor baris ketiga = -55, diambil melalui tanda determinan
|A| = (-3)(-55)1 = 165
Invers Matriks
Invers Matriks adalah, Jika A matriks persegi, matriks B adalah invers matriks dari A atau B = A-1 maka B x A =A x B = I.
Jika matriks A berorde n x n . maka
Dimana Adj(A) adalah Transpose dari matriks kofaktor A, matriks Kofaktor A adalah matriks K dengan elemen-elemen kij = (-1)i+j mij. Dimana mij adalah elemen dari matriks Minor dari matriks A, mij adalah determinan dari matriks A yang telah dibuang baris ke i dan kolom ke j.
Contoh : , maka m11 = 4, m12 = 3, m21 = 2 dan m22 = 1 sehingga :
k11 = (-1)1+1.4 = 4, k12 = (-1)1+2. 3 = -3, k21 = (-1)2+1. 2 = -2 dan k22 = (-1)2+2.1 = 1
dan Adj (A) = ,
karena |A| = -2 maka
Operasi Matriks untuk Penyelesaian Sistim persamaan Linier .
Seperti yang kita ketahui bentuk standar SPL dengan m persamaan dan n peubah adalah :
Atau ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut :
atau ditulis A x X = B dimana :
disebut matriks koefisien, disebut matriks peubah, dan disebut matriks hasil,
maka SPL tersebut dapat diselesaikan dengan operasi matriks.
Aturan Cramer:
Jika AX = B adalah SPL yang terdiri dari n persamaan linier dalam n peubah dan |A| 0, maka SPL mempunyai penyelesaian tunggal ,i = 1,2,3,…,n dimana |Ai| adalah determinan dari matriks A yang elemen kolom ke i diganti dengan elemen matriks B.
Contoh : Selesaikan SPL berikut
x1 +2 x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 - 2x2 + 3x3 = 8
Sehingga
, , ,
Didapat :
Metoda Eliminasi Gauss Jordan
Prosedur eliminasi Gauss Jordan didasarkan pada gagasan untuk mereduksi matriks yang diperbesar yaitu matriks A|B menjadi bentuk yang cukup sederhana menggunakan Operasi Baris Elementer (OBE)
Prosedur eliminasi gauss Jordan adalah sebagai berikut :
1. Jika baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka bilangan tak nol pertama dalam baris tersebut (usahakan) adalah 1., yang disebut 1 utama.
2. Jika terdapat baris yang seluruhnya nol mak semua baris tersebut dikelompokan bersama-sama di baris bawah matriks.
3. Dalam sebarang dua baris berurutan yang seluruhnya tak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh kekanan dari 1 utama baris sebelumnya.
4. Masing masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol ditempat lain.
Mtriks yang mempunyai sifat 1,2, dan 3 disebut matriks dalam bentuk Eselon Baris Tereduksi.
Contoh :
x1 + x2 + 2 x3 = 9
2x1 + 4x2 - 3x3 = 1
3x1 + 6x2 - 5x3 = 0
Dalam bentuk matriks SPL ditulis :
Matriks diperbesar A|B adalah
selanjutnya dengan menggunakan OBE matriks yang diperbesar ini akan direduksi menjadi matriks eselon baris. b2 – 2b1 dan b3 – 3b1
½ x b2
b3 - 3b2
-2 x b3
b1 –b2
b1-11/2b3 dan b2 +7/2 b3
sehingga diperoleh : x1 = 1, x2 = 2 , dan x3 = 3
Jika m
1. Carilah invers dari matriks dan
2. Hitunglah nilai x jika ;
3. 1. Carilah penyelesaian dari SPL :
2a – b + 7c + 9d = 14
a - 2b + c – 4d = - 4
- a – 4b + 2c + d = -32
- a + b + 3c + d = 11
2. Carilah penyelesaian dari SPL berikut :
x1 + 2x2 + 3x3 +2x4 + 9x5 = 45
3x1 + 2x2 + 7x3 + x4 + x5 = 32
4x1 + 9x2 + x3 + x4 + x5 = 50
8x1 + x2 + 2x3 +3x4 + 2x5 = 20
3x1 + x2 + x3 + 8x4 + 2x5 = 40
